Рефераты для студентов и школьников!

История государства и права зарубежных стран

Маркетинг, товароведение, реклама

Теория государства и права

Искусство

Техника

История

Религия

История экономических учений

Литература, Лингвистика

Программирование, Базы данных

История отечественного государства и права

Гражданская оборона

Охрана природы, Экология, Природопользование

Психология, Общение, Человек

Философия

Биология

Астрономия

Социология

Транспорт

Программное обеспечение

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Математика

Физика

География, Экономическая география

Гражданское право

Политология, Политистория

Физкультура и Спорт

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Менеджмент (Теория управления и организации)

Здоровье

Банковское дело и кредитование

Экскурсии и туризм

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Банковское право

Компьютеры и периферийные устройства

Культурология

Историческая личность

Металлургия

Радиоэлектроника

Конституционное (государственное) право России

История политических и правовых учений

Технология

Компьютеры, Программирование

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Право

Бухгалтерский учет

Уголовное право

Материаловедение

Москвоведение

Музыка

Трудовое право

Экономика и Финансы

Страховое право

Налоговое право

Компьютерные сети

Административное право

Муниципальное право России

Нотариат

Ценные бумаги

Педагогика

Медицина

Финансовое право

Химия

Архитектура

Уголовный процесс

Юридическая психология

Законодательство и право

Военная кафедра

Римское право

Криминалистика и криминология

Промышленность и Производство

Экологическое право

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Астрономия, Авиация, Космонавтика

Иностранные языки

Сельское хозяйство

Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Доказать, что Решение Решение задачи разобъем на четыре этапа: 1. Докажем, что 2. Докажем, что 3. Докажем, что 4. Из этапов (2) и (3) ясно, что Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС. Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P , S и Q . Обозначим отрезки AP , CQ и BS как x , y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x , CQ = CS = y , BS = BP = z . Составим и решим систему.

a = y + z b = x + y c = x + z
Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей S PSQ = S АВС – ( S APQ + S CQS + S BPS ). Аналогично, и Тогда из S PSQ = S АВС – ( S APQ + S CQS + S BPS ) Подставим значения Раскрыв скобки, выражение можно записать как Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: Подставим неравенства в числители дробей Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - S k ) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС. Пусть АН, BG , CF – биссектрисы АВС, тогда FGH – искомый треугольник.

Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH . Обозначим AF = x , BH = y , CG = z . По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда Значит, По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH , HCG , FAG к площади ABC . Аналогично, и Тогда Упростив это выражение, получаем . Теперь, из неравенства Коши ( Итак, отношение площади треугольника FHG (по условию - S l ), вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС - Этап 3: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC . Проведем из вершин E , R и T . Рассмотрим AERT . RT , по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ 7 RT . ER = AT и ER 7 AT по этим же признакам AERT – параллелограмм.

Значит EAT = ERT (*) – по свойству параллелограмма.

Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT , BETR . Из них RET = RCT , RBE = ETR (**). Из (*) и (**) ERT подобен (по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», . Итак, отношение площади треугольника (по условию S K ), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС - . Этап 4: докажем, что В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.

Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД. Задача 1 Финального тура Условие: Решить уравнение xy 2 + xy + x 2 – 2 y – 1 = 0 в целых числах.

Решение Представим исходное уравнение в виде: Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx , где k Z . Тогда Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное. Подставим значения в преобразованное уравнение. Введем замену: х 1 = -х. Тогда полученное уравнение примет вид Решим данное уравнение относительно х 1 (очевидно, что 1. Рассмотрим случай, когда k = 1. Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3; Ответ: (1;0), (0;-3); 2. Рассмотрим случай, когда k = -1. Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1; Ответ: (-1;0), (-3;1); 3. Рассмотрим случай, когда k = 3. Отсюда у = -14. Ответ: (-9;-14) 4. Рассмотрим случай, когда k = -3. - нет решений в области целых чисел. Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14). C умма производных Условие: Пусть Доказать, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное.

Решение Рассмотрим производные P ( x ): Далее замечаем, что 1. n = 2 k .. 4 k 2 (2 k -1) – это число четное. 2. n = 2 k +1. 2 k *(2 k +1) 2 – также число четное.

Отсюда следует, что n . Значит, Введем некоторую функцию F ( x ). Рассмотрим возможные случаи для х: 1. х – число четное - число четное F ( x ) – нечетное.

Значит, 2. х – число нечетное a. n – нечетное - при четном х – четное, значит сумма четна F ( x ) – четное. b. n – четное - при четном х – четное, значит сумма нечетна F ( x ) – четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F ( x ) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n - четное ЧТД В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное. ЧТД. Необычное уравнение Условие: Для m натуральных через P ( m ), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S ( m ) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения при n = 2002. Исследуйте величину k ( n ) решений уравнения.

Решение Рассмотрим различные случаи числа x . Пусть в записи х есть ноль, тогда P ( x ) = 0, значит Пусть S ( x )= y , S ( x ) = n и в записи числа есть ноль, тогда Значит, P ( S ( x )) = P ( y ) = 0, т.к. число содержит ноль. S ( S ( x ))= S ( y )= n . Имеется бесконечно много решений. Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S ( S ( x )) которых равна n . Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев. Идем от обратного: S ( y )= n где, a + b + c +…+ f = n , т.е. от перестановки цифр сумма не меняется. При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.

Задание 6 Финального Тура Найти все функции Решение Пусть х = 1. . Заменим f ( y ) на а, имеем: (*) Проверим полученную функцию. y = 1, тогда Теперь подставим в исходную функцию. Значит, одно из возможных значений функции - Математический Анализ Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f (0)= f (1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy , через которые могут проходить графики всех функций.

Решение Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл: Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница: Итак, Значит Значит, Тогда, (по условию). Рассмотрим два случая: 1. y 2 = x – x 2 (точка лежит на контуре) Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 90 0 ) ПРОТИВОРЕЧИЕ !!! 2. Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х. Бесконечные Биномиальные Коэффициенты Условие: упростить выражение Решение Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n – нечетно, то их количество четно.

оценка комнаты в Брянске
оценка стоимости предприятия в Смоленске
оценка строительства в Курске

Подобные работы

Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

echo "Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём. Теорема 28.5: Если функция "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " , и если "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " Причём общая д

Гамма функции

echo "Сходящимся при всех значениях "; echo ''; echo " является и весь интеграл "; echo ''; echo " так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом "; echo ''

Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

echo "Доказать, что "; echo ''; echo " Решение Решение задачи разобъем на четыре этапа: 1. Докажем, что "; echo ''; echo " 2. Докажем, что "; echo ''; echo " 3. Докажем, что "; echo ''; echo " 4. Из э

Евклид и его "Начала"

echo "Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I , начинавший превращаться в один из центров

Пафнутий Львович Чебышев

echo "Учился Пафнутий и музыке, правда безуспешно, но не бесследно: занятия музыкой, как он признал впоследствии, приучили его “к точности и анализу”. Вполне возможно также, что восприятие гармонии на

Структура аффинного пространства над телом

echo "Понятно, что для коммутативной группы "; echo ''; echo " Определение 1.2. Пусть группа "; echo ''; echo " действует слева на множестве "; echo ''; echo " с законом действия "; echo ''; echo " ";

Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

echo "Введение Проблема защиты информации путем ее преобразования, исключающего ее прочтение посторонним лицом волновала человеческий ум с давних времен. История криптографии - ровесница истории чело

© 2011-2012, o