Гамма функции

Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом где произвольно.Действительно для всех указаных значений ходится равномерно. Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при функция непрерывна при и 12 сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы при такое , что и на справедливо неравенство и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на существует такое число выполняется неравенство и всех получим в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на в котором подынтегральная функция непрерывна в области интеграл 13 сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство Относительно интеграла По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при Изучим теперь поведение Из выражения для второй производной для всех возрастает.

Поскольку [1,2] производная при и при Монотонно убывает на из формулы при 14 Равенство Положим для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при функция Определив таким образом той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что и Отметим еще раз, что интеграл определяет Г-функцию только при положительных значениях 15 (рис.1) 4. Вычисление некоторых интегралов. 16 Формула Стирлинга Применим гамма функцию к вычислению интеграла: где m > -1, n > -1.Полагая , что и на основании (2.2) имеем (3.1) В интеграле Где k > -1, n > 0,достаточно положить 17 Интеграл Где s > 0,разложить в ряд = где Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима) связанные неравенством Разлагая, в ряд имеем 18 Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n ! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию (3.2) Непрерывна на интервале (-1, до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как то u > 0 и при u И так производная непрерывна и положительна во всем интервале 19 Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, Обращающаяся в 0 при v =0 и удовлетворяющая условие (3.3) Формулу Стирлинга выведем из равенства полагая Положим далее u = -1при при .Замечая что(см.3.2) 20 имеем , полагая на конец , или в пределе при откуда вытекает формула Стирлинга которую можно взять в виде 21 (3.4) где ,при для достаточно больших полагают (3.5) вычисление же производится при помощи логарифмов если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n приведем без вывода более точную формулу где в скобках стоит не сходящийся ряд. 5. Примеры вычисления интегралов 22 Для вычисления необходимы формулы: Г( В ычислить интегралы 23 Міністерство освіти і науки України Запорізький державний університет ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ Зав. каф.

Математичного аналізу д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова _________________________ 2002р. ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ ГАМА ФУНКЦІЇ Розробив Ст..гр.. 8221-2 Садигов Р.А. Керівник Ст. викладач Кудря В.І. Запоріжжя 2002. Содержание Задание на курсовую работу ........................... ...................................2 Реферат ............................................................. ...................................4 введение ............................................................ ...................................5 1. Бета функции……………………………………………. .............6 2. Гамма функции. ...................................... ...................................9 3. Производная гамма функции ............... ..................................11 4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16 5. Примеры вычеслений ............................. ..................................22 вывод ................................................................ ..................................24 Список литературы……………………………………………..............25 Реферат Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения. В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова: ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ. Введение Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра. Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера. Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода: гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода: Вывод Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.