Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Скачать работу - Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция , и если Причём общая длина этих интервалов меньше . Замечание: Очевидно, что если и Существование первообразной Определение 28.9: Пусть переменным верхним пределом , аналогично функция переменным нижним пределом . Теорема 28.6: Если функция Замечание 1: Из дифференцируемости функции Замечание 2: Поскольку Интегрирование подстановкой Пусть для вычисления интеграла Теорема. Если 1. Функция 2. множеством значений функции при a ; b ] 3. Док-во: Пусть F ( x ) есть первообразная для f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Формула замены переменной в определенном интеграле. 1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2. часто вместо подстановки t = g ( x ) 3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Интегрирование заменой переменной . а). Метод подведения под знак дифференциала Пусть требуется вычислить интеграл Тогда: Пример: Вычислить Подстановка: б). Метод подстановки Пусть требуется вычислить интеграл Пример: Вычислить Интегрирование по частям . Пусть Пример: Вычислить Положим Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла Интегрирование рациональных функций Постановка задачи:

1).	2).
3).

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2). Теорема 1: Пусть

1.	2.	3.	4.	5.
6.	7.	8.	9.	10.

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей Сделав подстановку: тогда a). Подстановки Эйлера. 1). Корни многочлена 2). Корни многочлена b). Подстановка:

1).	2).
3).

c). Если Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических Универсальная подстановка: Интегрируется по частям Неопределенный интеграл Определение 26.1: Функция первообразной для функции Пусть Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции Замечание 26.1: Если Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “ с точностью до постоянной ”. Св-ва неопределенного интеграла: 1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.

Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием. 2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной: 3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла: a 0-постоянная. 4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций: 5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если u = Табличные интегралы

Определённый интеграл.

Интегрируемость Определение 28.1: Множество точек отрезка разбиением отрезка Длины частичных отрезков разбиения обозначим: Мелкостью разбиения Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех Интегральной суммой функции с разбиением Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции назовём такое число Определение 28.4: Функция интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: Теорема 28.1: Если , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции.

Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема). Критерий интегрируемости функций Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: Определение 28.8: Определённым интегралом функции называется число . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла 1. Если с – постоянное число и функция f ( x ) интегрируема на [ a ; b ], то с можно выносить за знак определенного интег-ла. 2. Если функции f ( x ), g ( x ) интегрируемы на [ a ; b ], тогда интегрируема на [ a ; b ] их сумма и разность 3. Если 4. Если функция f ( x ) интегрируема на [ a ; b ] и a c b , то аддивностью определенного интеграла.

Сравнение определённых интегралов Если Если Неравенство му непрерывными функциями на отрезке [ a ; b ], можно интегрировать. Если Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если Оценка интеграла. Если m и M -соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Если Теорема о среднем значении Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то существует точка такая, что Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем F ’( x )= f ( x ). Применяя к разности F ( b )- F ( a ) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F ( b )- F ( a )= F ’( c )*( b - a )= f ( c )*( b - a ). Эта теорема при f ( x ) f (с) и основанием b - a . Число наз-ся средним значением функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Формула Ньютона-Лейбница Если Док-во: Рассмотрим тождество Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа y = f ( x ) непрерывна на [ a ; b ]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f ( x ) на [ a ; b ]. Переходя к пределу при F ( b )- F ( a )= = , т.е. интеграл с переменным верхним пределом Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [ a ; b ], то величина интеграла будет изменяться.

оценка объектов жилой недвижимости в Липецке
оценка дачи в Белгороде
оценка стоимости зданий и сооружений в Москве