Рефераты для студентов и школьников!

История государства и права зарубежных стран

Маркетинг, товароведение, реклама

Теория государства и права

Искусство

Техника

История

Религия

История экономических учений

Литература, Лингвистика

Программирование, Базы данных

История отечественного государства и права

Гражданская оборона

Охрана природы, Экология, Природопользование

Психология, Общение, Человек

Философия

Биология

Астрономия

Социология

Транспорт

Программное обеспечение

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Математика

Физика

География, Экономическая география

Гражданское право

Политология, Политистория

Физкультура и Спорт

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Менеджмент (Теория управления и организации)

Здоровье

Банковское дело и кредитование

Экскурсии и туризм

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Банковское право

Компьютеры и периферийные устройства

Культурология

Историческая личность

Металлургия

Радиоэлектроника

Конституционное (государственное) право России

История политических и правовых учений

Технология

Компьютеры, Программирование

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Право

Бухгалтерский учет

Уголовное право

Материаловедение

Москвоведение

Музыка

Трудовое право

Экономика и Финансы

Страховое право

Налоговое право

Компьютерные сети

Административное право

Муниципальное право России

Нотариат

Ценные бумаги

Педагогика

Медицина

Финансовое право

Химия

Архитектура

Уголовный процесс

Юридическая психология

Законодательство и право

Военная кафедра

Римское право

Криминалистика и криминология

Промышленность и Производство

Экологическое право

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Астрономия, Авиация, Космонавтика

Иностранные языки

Сельское хозяйство

Евклид и его "Начала"

Евклид и его "Начала"

Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I , начинавший превращаться в один из центров научной жизни.

Евклид был последователем древнегреческого философа Платона, и преподавал он, вероятно, четыре науки, которые, по мнению Платона, должны предшествовать занятиям философией: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию. Кроме “Начал” до нас дошли книги Евклида, посвящённые гармонии и астрономии. Что касается места Евклида в науке, то оно определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами.

Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значение не может быть сравнимо с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора( VI век до н. э.), Евдокса и Теэтета ( IV век до н.э.). Величайшая заслуга Евклида в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению столь совершенную форму, что на 2000 лет “Начала” стали энциклопедией геометрии.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в “Начало” ещё две книгиXIV - и XV - ю , написанные другими авторами.

Первая книга Евклида начинается с 23”определений”, среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линяя есть длина без ширины; линия ограничена точками; прямая есть линия, одинакова расположенная относительно всех своих точек; наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолжены, не встречаются. Это скорее наглядные представления об основных объектах и слово “определение” в современном понимании не точно передаёт смысл греческого слова “хорой”, которым пользовался Евклид. В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов, сравниваются их площади. Здесь появляется теорема о сумме углов треугольника. Затем следует пять геометрических постулатов: через две точки можно провести одну прямую; каждая прямая может быть сколь угодно продолжена ; данным радиусом из данной точки можно провести окружность; все прямые углы равны; если две прямые проведены к третьей под углами, составляющими в сумме меньше двух прямых, то они встречаются с той же стороны от этой прямой. Все эти постулаты, кроме одного, вошли в современные курсы основной геометрии. За постулатами приводятся общие предположения, или аксиомы,- 8 общематематических утверждений о равенствах и неравенствах. Книга заканчивается теоремой Пифагора. В книге II излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

Алгебраической символики тогда не существовало. В книге III рассматриваются свойства круга, свойства касательных и хорд, в книге IV -правильные многоугольники, появляются основы учения о подобии. В книгах VII - IX изложены начала теорий чисел, а основанной на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя, приводится алгоритм Евклида, сюда входит теория делимости и теорема о бесконечности множества простых чисел.

Последние книги посвящены стереометрии. В книге XI излагаются начала стереометрии, в XII с помощью метода исчерпания определяются отношения площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра.

Вершина стереометрии у Евклида – теория правильных многогранников. В “Начало” не попало одно из величайших достижений греческих геометров – теория конических сечений. О них Евклид написал отдельную книгу “Начала конических сечений”, не дошедшую до нас, но её цитировал в своих сочинениях Архимед. “Начало” Евклида не дошли до нас в подлиннике.

Двенадцать столетий отделяют от Евклида самые старые известные списки, семь столетий – скольнибудь подробные сведения о “Началах”. В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги “Начал” пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли “ улучшениями ” позднейших комментаторов. В период возрождения европейской математике ( XVI в.) “Начала” изучали и воссоздавали заново.

Логическое построение “Начала”, аксиоматика Евклида воспринимались математиками как безупречное вплоть до XIX в., когда начался период критического отношения к достигнутому, который закончился новой аксиоматикой евклидовой геометрии – аксиоматикой Д. Гильберта.

Изложение геометрии в “Началах” считалось образцом, которому стремились следовать учёные и за пределами математики. 2. Евклида Алгоритм.

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков. Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д.

Последний ненулёвой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Обозначив исходные числа через а и б, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1 , r 2 …, r n , а неполные частные через q 1 , q 2 , можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств: a=bq 1 +r 1 , b=r 1 q 2 +r 2 . . . . . . . . . . r n-2 =r n-1 q n +r n rn -1= r n q n +1 . Приведём пример. Пусть а=777, b =629. Тогда 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4. Последний ненулевой остаток 37 есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629. Для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков поступают аналогично.

Операцию деления с остатком заменяют его геометрическим аналогом: меньше отрезок откладывают на большим столько раз, сколько возможно: оставшуюся часть большего отрезка (принимаемую за остаток отделения) откладывают на меньшем отрезке и т.д.если отрезки a и b соизмеримы, то последний не нулевой остаток даст наибольшую общую меру этих отрезков. В случае несоизмеримых отрезков получаемая последовательность не нулевых остатков будет бесконечной.

Рассмотрим пример. Возьмём в качестве исходных отрезков сторону AB и AC равнобедренного треугольника ABC , у которого A = C = 72 ° , B = 36 ° . В качестве первого остатка мы получим отрезок AD ( CD -биссектриса угла C ), и, как легко видеть, последовательность и нулевых остатков будет бесконечной.

Значит, отрезки AB и AC не соизмеримы . Алгоритм Евклида известен издавна. Ему уже более 2000 лет. Этот алгоритм сформулирован в “Началах” Евклида, где из него выводятся свойства простых чисел, наименьшего общего кратного и т.д. Как способ нахождения наибольшей общей меры двух отрезков алгоритм Евклида (иногда называемый методом попеременного вычитания) был известен ещё пифагорейцам. К середине XVI в. алгоритм Евклида был распространён на многочлены, от одного переменного в дальнейшем удалось определить алгоритм Евклида и для некоторых других алгебраических объектах.

Алгоритм Евклида имеет много применений.

Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший делитель d чисел a и b в виде d = ax + by ( x ; y - целые числа), а это позволяет находить решение Диофантовых уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

Алгоритм Евклида является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби. Он часто используется в программах для электронных вычислительных машин.

оценка аренды земельного участка в Липецке
экспертиза мотоцикла в Белгороде
оценка патента в Москве

Подобные работы

Структура аффинного пространства над телом

echo "Понятно, что для коммутативной группы "; echo ''; echo " Определение 1.2. Пусть группа "; echo ''; echo " действует слева на множестве "; echo ''; echo " с законом действия "; echo ''; echo " ";

Пафнутий Львович Чебышев

echo "Учился Пафнутий и музыке, правда безуспешно, но не бесследно: занятия музыкой, как он признал впоследствии, приучили его “к точности и анализу”. Вполне возможно также, что восприятие гармонии на

Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

echo "Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём. Теорема 28.5: Если функция "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " , и если "; echo ''; echo " "; echo ''; echo " Причём общая д

Гамма функции

echo "Сходящимся при всех значениях "; echo ''; echo " является и весь интеграл "; echo ''; echo " так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом "; echo ''

Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

echo "Введение Проблема защиты информации путем ее преобразования, исключающего ее прочтение посторонним лицом волновала человеческий ум с давних времен. История криптографии - ровесница истории чело

Евклид и его "Начала"

echo "Евклид должен быть старше Архимеда, который ссылался на “Начало”. До наших времён дошли сведения, что он преподавал в Александрии, столица Птолемея I , начинавший превращаться в один из центров

Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

echo "Доказать, что "; echo ''; echo " Решение Решение задачи разобъем на четыре этапа: 1. Докажем, что "; echo ''; echo " 2. Докажем, что "; echo ''; echo " 3. Докажем, что "; echo ''; echo " 4. Из э

© 2011-2012, o